数学的モデル化：中心極限定理

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数学的モデル化：中心極限定理

５章と６章の結果から、送信情報と受信情報が一致する確率は、盗聴がない
場合に0.75であり、盗聴がある場合は0.625であることがわかりました。それで
は、両者を見比べて結果的にビットが一致していた時に、これは盗聴があった
と判断すべきでしょうか、なかったと判断すべきでしょうか。それはもちろん
わかりません。どちらもありえることです。結果的にビットが一致していない
場合も、同じことです。

では、同じ条件（盗聴がないかあるか）で８回送ったとしましょう。その中
で６回は送信情報と受信情報が一致し、２回は一致しなかったとします。８回
のうち６回合ったのですから、一致的は0.75です。５章のＰと見事一致します。
じゃあ盗聴はなかったんだ。そう結論づけてしまっていいでしょうか。

答えはノーです。あくまで確率ですから、盗聴があったとしても、実際に一
致するのは、確率通り８回のうちの５回とは限りません。たまたま６回一致し
たり４回しか一致しない場合も当然ありえます。硬貨を４回投げて、表が出た
回数が２回でなく３回だったとしても、特に不思議がる必要はありませんね。
それと同じことです。

それでは80回送ったとしましょう。その中で58回一致したとします。一致率
は0.725で、0.75よりは多少低いのですが、0.625よりはずっと大きい値です。
この場合、８回送って６回一致した場合と比べて、盗聴がなかったとみなすの
はある程度合理的なのです。硬貨を400回投げて300回近く表だったら、さすがに
何かおかしいかな、と考えますね。それと基本的には同じことです。

実は確率論の世界には中心極限定理というものがあります。一回ごとに独立
で生起確率がわかっているある事象に対し、その試行回数を増やすと、観測さ
れる生起率は、その生起確率からほとんどはずれなくなっていくのです。つま
り、何百回もやって一致率が0.75に近ければ、それは元々の確率が0.75だった、
つまり盗聴はなかったと、まず間違いなく結論付けられるのです。そしてその
「間違い」の確率は、試行回数が増えるに従って、限りなくゼロに近づいてい
くのです。

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